第8单元 数学广角——找次品

项目

内容

单元内容

第8单元 数学广角——找次品

所属领域

综合与实践

教材版本

人民教育出版社（人教版）小学数学教科书

课时数

2 课时

课型结构

单元开启课、专题练习课

课时安排

课题

课型

核心任务

第1课时

找次品

单元开启课

初步理解找次品的含义，明确找次品的基本思路，探索找次品的一般方法。

第2课时

练习课

专题练习课

通过练习，进一步掌握找次品的基本方法，了解稍复杂的找次品问题的解题策略。

课题名称

所属主题

第1课时　找次品

第8单元 数学广角——找次品

环节目标

学习材料

关键问题

时间

一、创设现实情境，生成问题

课件、数字卡片

同学们，看看我手上有什么？它们是一样的吗？

3分钟

二、经历探究过程，领会找次品的基本思路

课件、教科书、数字卡片

同学们，认识这个工具吗？你们会使用天平吗？如果天平平衡说明什么？；运用天平，怎样才能很快地找出哪一瓶是次品呢？谁来说说你的想法？

27分钟

三、探索归纳，发现一般规律

教科书、课件、数字卡片

现在我们学会了用天平找次品，它的方法是怎样的？；你在找次品的过程中发现了什么规律呢？

6分钟

四、实践应用，加深理解

课件、教科书、数字卡片

——

2分钟

五、课堂小结

课件、数字卡片

同学们，这节课就要结束了。你们今天学了些什么？；学了今天的知识能帮我们解决什么问题呢？

2分钟

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

一、创设现实情境，生成问题

教师出示3瓶外观一样的钙片。

师：同学们，看看我手上有什么？它们是一样的吗？

师：看来同学们不仅会观察，还有批判性思维，真棒！

师：老师手中这3瓶钙片，看起来是一样的，但其实有一瓶少了一些。生活中常常有一些看似完全相同的物品中混着一个质量不同的物品（重一点或轻一点），需要想办法把它找出来，我们把这类问题称为找次品问题。（板书课题：找次品）

从外观看，有的学生初步确定是一样的;也有的学生可能想到，仅仅从外观看，还不能确定是否一样。

利用学生熟悉的物品，通过外观一样而里面不一样，激发学生的思维，引导学生用数学的眼光看问题。

二、经历探究过程，领会找次品的基本思路

1.认识天平。

教师出示实物天平，认识天平。

师：同学们，认识这个工具吗？你们会使用天平吗？如果天平平衡说明什么？

2.从3瓶钙片中找次品，感悟找次品的基本思路。

课件出示教科书P112例1。

（1）交流找次品的想法。

师：运用天平，怎样才能很快地找出哪一瓶是次品呢？谁来说说你的想法？

师：你们还有别的方法吗？

师：大家觉得这种方法怎么样？

师：那要怎么称？称几次就能找出次品呢？

师：谁明白他的意思？能上来再演示一下吗？

师：你们的想法真好！因为天平有两个托盘，次品的位置只有两个托盘上和天平外三个地方，用天平称一次就能确定次品在什么位置。

（2）用直观的方式表达推理过程。

师：同学们的推理过程很清晰，我们可以用直观图将这个过程表示出来。

师：为了能清楚地表述，我们分别用数字卡片1、2、3代表这3瓶钙片。

师：先把1、2放在天平的两边，会有几种情况呢？

师：这两种情况，我们可以这样表示。[板书： ]

师：如果平衡，能得到什么结论？如果不平衡，又能得到什么结论？

结合学生的发言，教师完善板书：

师：同桌之间互相说说这个推理过程。

（3）梳理过程。

课件呈现推理过程，学生跟着一起说。

师：用天平称，需要称几次才能找到次品？（称1次就能找到次品。）

3.自主探索从5瓶钙片中找到次品，理解“至少”“保证”的含义。

（1）学生自主尝试。

师：如果5瓶钙片中有一瓶是次品(次品轻一些)，用天平称，至少称几次能保证找到次品？

请同学们独立思考，用手中的扑克牌摆一摆，并将找次品的过程清楚地表示出来。完成的同学与同桌交流一下找的方法。

师：能边说边将你找次品的过程在黑板上表示出来吗？

称2次

称2次

（2）理解“至少”“保证”。

师：这里有的时候1次就能找出次品，为什么至少要称2次呢？

师：同学们用不同的方法找出了5瓶钙片中的次品，老师看见这些方法的不同主要是因为一开始分的份数不同。如果每次都画天平，很麻烦，我们可以这样简洁表示。

教师边说边板书：5(1,1,1,1,1)2次；5(1,1,1,2)2次；5(2,2,1)2次；5(1,1,3)2次。

师：整体观察，怎么分保证能找到次品称的次数最少？至少应称几次？

师：分的份数不同，但都是至少称2次就能保证找到次品，谁能解释其中的道理？

4.探索从8个零件中找次品，掌握找次品的最优策略。

课件出示教科书P112例2。

师：同桌之间研究一下，看能不能也用刚才的符号或方法来解决，将探索情况填在记录单上，如果实在有困难的话也可以摆一摆。

师：哪个组来说说你们研究的情况？

师：现在我们静下心来，静静地观察表格并回顾刚才的研究过程，你能发现什么？

师：从8个零件中找1个次品时很多同学都分成了3份，但只有分成3个、3个和2个时才能在保证找出次品时称的次数最少，结合表格中的数据，谁能分析一下？

教师根据学生反馈板书：8（1,1,1,1,1,1,1,1）4次；8（2,2,2,2）3次；8（3,3,2）2次；8（4,4）3次。

师：如果9个零件中有1个是次品(次品重一些)，至少称几次能保证找到次品？是怎么称的？

5．验证发现。

师：用你发现的方法算一算，要找出10个、11个零件中的1个次品(次品重一些)，看看是不是平均分成3份保证找出次品的次数也是最少的。

师小结：经过研究、验证，我们发现：尽可能平均分成3份找次品，保证找到次品称的次数最少，不能平均分成3份的，要使其中2份的数量相等，另一份多1或少1。

师：回头想想，我们是用了哪些方法得出了这样的结论？

在此之前，学生已经接触过天平，认识了天平的组成部分。在这里教师应重点引导学生理解，天平两边平衡说明两边的物体同样重，哪边的托盘向下，就说明那边的物体稍重，反之则稍轻。

此时学生可能会想到用手掂一掂、倒出来数一数等方法。学生也可能会提出这些方法的不妥之处，用手掂并不准确，而倒出来数又不卫生。如果学生未能想到这些，教师要引导学生分析这些方法的不合理性。

有的学生可能会说用有砝码的天平一瓶一瓶去称，2次可找到，也有的学生可能会说用没砝码的天平来称，1次可找到。

学生上讲台边说边演示。

学生会说有两种情况，平衡或不平衡；也有学生可能会说有三种情况：第一种平衡，第二种左边轻一些，第三种右边轻一些。此时教师引导学生归纳，不管哪边轻一些，都是不平衡。

学生小组内交流后派代表发言。

有了前面从3瓶中找次品的经验，学生会用直观图的形式来表示。学生会想出多种找到次品的方法，并将从5瓶钙片中找次品的过程展示出来：5(1,1,1,1,1)；5(1,1,1,2)；5(2,2,1)；5(1,1,3)。但是由于要考虑到多种可能，有的学生可能会考虑不全面。

预设1：分成3份。（2，2，1）

预设2：分成3份。（1，1，3）

预设3：分成5份再称。（1，1，1，1，1）

预设4：分成4份再称。（1，1，1，2）

学生会说，1次是运气比较好，不能保证找出次品。

面对这样的问题，可能有的学生在理解上会有些困难，教师要让学生说出自己的想法，如果学生实在无法解释，教师要引导学生继续去感受和理解：当天平左右两边各放1瓶钙片时，无论分成5份还是4份，天平外都是3瓶钙片，和5(1,1,3)这种情况是一样的，次品的位置同样只有两个托盘和天平外三个地方。

有了前面找次品的经验方法，学生会很自然地将之前的方法迁移过来，但不排除还有部分学生存在困难，所以教师提醒学生实在有困难的话也可以摆一摆，尽可能让每一位学生都能掌握基本的方法。

学生汇报，教师完善表格。

学生交流反馈。

学生思考，小组交流。

学生独立验证并交流。

让学生借助已有的生活经验去寻找找次品的方法，进而引出用天平称的方法，这样的设计既顺应了学生的思维，又调动了学生的积极性。

由简单的数据开始，让学生经历分析推理的过程，并掌握基本的思路和表达方法。

呈现不同的解决策略，在多样的方法中找到共同的规律。加深对“至少”“保证”的理解。通过不同方法的交流、对比，让学生感受到解决问题的方法的多样性，初步感悟分成的份数与称的次数之间的关系。

本环节是在学生动手操作的基础上，将学习的主动权继续交给学生，让学生将自己的研究成果展示在同伴面前。在学生汇报的过程中，可能又会有不同的意见出现：对于从8个中找1个次品时，很多同学都分成了3份，但只有分成3个、3个和2个时，保证找出次品称的次数最少。这将会引发学生的二次研究，促使学生对研究成果不断进行修正。

学生只有在经历知识形成的过程中所掌握的知识和方法才是鲜活的、可迁移的，学生的数学素质才能得到质的飞跃。所以在本环节教师需要引导学生进行数学学习方法的小结，让学生感受到结论的得出依托于数学学习方法，也可以将这些学习方法渗透到学生今后的数学学习中。

三、探索归纳，发现一般规律

1.归纳找次品的方法。

师：现在我们学会了用天平找次品，它的方法是怎样的？

师：你在找次品的过程中发现了什么规律呢？

师：请同学们看教科书P113“你知道吗？”，你又可以知道什么？

2．运用规律，解决问题。

师：有20个物品，其中有1个次品(已知次品比正品重或轻)，要保证能找出次品至少需要称几次？

师：要保证至少6次能找出次品，待测物品可能是多少个？

师：到底是多少个呢？

找次品的方法：把这些物品分成3份，能平均分的就平均分，不能平均分的就使多的与少的相差1。

学生同桌讨论。

学生可能会发现找次品时，从2～3个物品中找次品，只需要1次，从4～9个物品中找次品，都需要2次……

教科书没有直接给出结论，但是根据给出的数据，学生一般能发现规律：只要待测物品数量介于3n-1＋1～3n之间，则至少需要测n次能保证找出次品。(板书)

因为33-1＋1＜20＜33，学生直接运用规律，发现只要称3次就可以了。

这个问题是对前面发现的规律的逆运用，对于学生而言有难度。若学生无法独立完成，就让学生小组讨论。有的可能说是244个，有的可能说是729个，引导学生讨论。

让学生讨论、辨析，发现244个到729个都有可能，最多是729个，最少是244个。

结合具体的数据，让学生读一读教科书P113“你知道吗？”，发现找次品问题中蕴含的规律，并通过展示、交流，自己发现规律、理解规律，并能在实际问题中应用规律。

通过具体的问题，加深学生对规律的理解。

四、实践应用，加深理解

1.课件出示教科书P114“练习二十七”第1题。

2．课件出示教科书P114“练习二十七”第2题。

学生独立解答后小组内交流。

学生独立完成，交流反馈。

在学生掌握了基本方法后，很多学生直接运用规律，不进行推理。

通过有层次的练习及时反馈学情，巩固新知，培养学生灵活运用知识解决问题的能力。

五、课堂小结

师：同学们，这节课就要结束了。你们今天学了些什么？

师：学了今天的知识能帮我们解决什么问题呢？

——

引导学生回顾梳理本课所学，完善认知结构，提升归纳与反思能力，核心问题："同学们，这节课就要结束了。你们今天学了些什么？"

课题名称

所属主题

第2课时　练习课

第8单元 数学广角——找次品

环节目标

学习材料

关键问题

时间

一、复习找次品的方法

课件、教科书

——

11分钟

二、通过探索，了解稍复杂的找次品问题

课件、教科书、练习本

我们知道次品比正品轻还是重吗？；这样称一次能不能找到次品？

19分钟

三、基础练习

教科书、课件

——

4分钟

四、课堂小结

课件

本节课，我们又学习了找次品的方法，从中有哪些新的收获呢？

6分钟

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

一、复习找次品的方法

课件出示教科书P114“练习二十七”第4题问题。

师：猜一猜，至少称几次能保证找出质量较轻的这袋糖果，并用图来表示出找次品的过程。

师：请你们把找的过程在教科书P114“练习二十七”第4题中写出来。

(1)学生独立在教科书上解答。

(2)全班展示交流。

学生猜测后，课件继续出示。

学生可能能正确地推理，但是不一定能清晰地表达。只要思路正确就可以，教师适当地规范学生的语言。

再次经历推理的过程，熟悉找次品的最优方法。

二、通过探索，了解稍复杂的找次品问题

课件出示教科书P114“练习二十七”第5题。

(1)学生尝试解答。

(2)反馈交流。

师：我们知道次品比正品轻还是重吗？

师：这样称一次能不能找到次品？

师小结：这样称一次是不能知道次品是比500g重还是比500g轻的。当天平不平衡的时候，不知道重的是次品，还是轻的是次品。

师：这种方法能找到次品吗？

师：为什么平衡和不平衡都要将多的那1袋再称一次？

师小结：用天平多称一次的目的就是帮助我们找到次品是偏重的还是偏轻的。

（3）拓展延伸。

师：有8袋白糖，其中7袋每袋500g，另1袋不是500g，但不知道比500g重还是轻，至少称几次才能保证判断出另1袋比500g轻还是重呢？学生独立思考后把答案写在练习本上。

预设1：随意取出2袋，天平平衡的话，剩下的1袋就是次品。如果天平不平衡，托盘较高的1袋(或托盘较低的1袋)就是次品。

没有深入的思考是不可能得出准确的答案的，所以这是本节课教师安排的有意培养学生独立思考能力的环节，让学生在思考的基础上写出答案，但多数同学写出来的答案还是有问题。于是“想一想你写对了吗”的提示语就显得很有必要了。

三、基础练习

完成教科书P114“练习二十七”第3题。

（1）学生独立完成。

（2）全班集中评价。

——

这道题是运用已有的经验和知识解决问题，对于学生来说并不难，让学生独立解答，充分发挥他们的主观能动性。

四、课堂小结

师：本节课，我们又学习了找次品的方法，从中有哪些新的收获呢？

引导学生说出找次品的基本方法，结合具体的事例用简单的语言表述稍复杂的情况该如何处理。

引导学生回顾梳理本课所学，完善认知结构，提升归纳与反思能力，核心问题："本节课，我们又学习了找次品的方法，从中有哪些新的收获呢？"