第3单元 分数除法

项目

内容

单元内容

第3单元 分数除法

所属领域

数与代数

教材版本

人民教育出版社（人教版）小学数学教科书

课时数

5 课时

课型结构

单元开启课、活动探索课、自主整理课

课时安排

课题

课型

核心任务

第1课时

倒数的认识

单元开启课

引导学生自主探究倒数的意义，掌握求一个数的倒数的方法，能正确地求出一个数的倒数；

第2课时

分数除以整数

活动探索课

在具体情境中借助已有经验理解分数除法的意义以及分数除以整数的算理，掌握分数除以整数的计算方法，能正确计算分数除以整数；

第3课时

一个数除以分数

活动探索课

通过具体的问题情境，引导学生探索并理解一个数除以分数的算理及计算方法，能正确地进行分数除法的计算；

第4课时

解决问题

活动探索课

在探索解决问题方法的过程中，学会利用单位“1”解决与分数除法有关的实际问题；

第5课时

整理和复习（练习九）

自主整理课

在复习中进一步体会分数除法的意义，掌握分数除法的计算方法，熟练地进行除法计算，能熟练地解决和分数除法相关的实际问题；

课题名称

所属主题

第1课时　倒数的认识

第3单元 分数除法（分数除法）

环节目标

学习材料

关键问题

时间

在计算比赛中发现规律

课件口算比赛

女生组做得又对又快，你知道其中的秘密吗？

6分钟

归纳倒数概念

课件

观察女生组的题目，你们有什么发现？怎样理解“互为倒数”？

8分钟

探索求倒数的方法

课件

互为倒数的两个数有什么特点？怎样找一个数的倒数？

10分钟

归纳方法，辨析易错

课件

求一个数的倒数，分几种情况？要注意什么？

8分钟

判断练习，深化理解

课件判断题

下面的说法对吗？为什么？

8分钟

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

一、计算比赛

组织男、女生两组口算比赛（女生组的算式都是乘积为1的分数乘法，男生组是一般乘法）。提问：“女生组做得又对又快，你知道其中的秘密吗？”引导学生观察女生组题目。

参与口算比赛，观察发现女生组每题的乘积都是1，且相乘的两个数分子、分母正好颠倒位置，产生探究兴趣。

以比赛形式激活课堂，让学生在观察中发现“乘积为1、分子分母颠倒”的特征。

二、认识倒数

组织小组讨论：“观察女生组的题目，看看有什么发现。”（两个数的乘积都是1；分子分母颠倒）再让学生举例写出几个这样的算式。引出概念：乘积是1的两个数互为倒数。强调：3/8的倒数是8/3，8/3的倒数是3/8；倒数是两个数之间的关系，不能单独说某个数是倒数。

小组讨论发现规律并举例，理解“互为倒数”的含义——一个数的倒数是与它乘积为1的数，体会倒数表示两个数之间的关系。

在观察、举例、讨论中归纳概念，准确理解“互为”的含义。

三、求倒数的方法

提问：“想一想，互为倒数的两个数有什么特点？”引导学生得出：两个数都是分数，分子分母交换位置；一个数是整数，另一个是分数且分子为1、分母为该整数。组织“找朋友”练习：下面哪两个数互为倒数？怎样找一个数的倒数？追问：“1和0有没有倒数？0.2有倒数吗？怎么求？”

归纳特点并练习找倒数；通过1×1＝1理解1的倒数是1；通过0与任何数相乘不可能为1理解0没有倒数；把0.2化成分数1/5后交换位置得5，并验证0.2×5＝1。

在分类找倒数的活动中掌握方法，在辨析中完善对倒数的认识。

四、归纳与辨析

引导学生归纳找倒数的方法：①求分数的倒数——分子、分母交换位置；②求整数（0除外）的倒数——先看成分母是1的分数，再交换位置；③求小数的倒数——先化成分数，再交换位置。注意：1的倒数是1，0没有倒数。组织完成“做一做”（写出下面各数的倒数）。

完成写倒数的练习，按三种类型说说方法，强化“1的倒数是1、0没有倒数”的特殊情况。

将方法结构化，通过特殊情况的辨析完善认知。

五、判断深化

出示判断题：①3/8和8/3的乘积为1，所以互为倒数；②1/2×2/1＝1，所以1/2和2/1互为倒数；③0的倒数还是0；④一个数的倒数一定比这个数小。组织学生判断并说明理由，重点分析④（真分数的倒数比原数大，整数（0、1除外）的倒数比原数小）。

逐题判断并说明理由，在讨论中深化对倒数概念的理解，纠正“倒数一定比原数小”的片面认识。

通过判断辨析，准确把握倒数概念的内涵与外延。

课题名称

所属主题

第2课时　分数除以整数

第3单元 分数除法（分数除法）

环节目标

学习材料

关键问题

时间

复习倒数与乘除关系

课件口算

根据乘法算式写出两个除法算式，依据是什么？

5分钟

在平均分情境中探索算法

种植基地情境图、长方形纸条

平均分问题用什么计算？1/2公顷平均分成2份，每份是多少？

10分钟

在变式中体会算法的一般性

课件

如果平均分成3个小组呢？能用“分子除以整数”的方法吗？

10分钟

拓展与巩固

教科书做一做

带分数除以整数，怎么求？

10分钟

总结提升

课件小结

一个数除以整数，等于乘这个数的倒数——要注意什么？

5分钟

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

一、复习导入

出示“说出下列各数的倒数”和“根据乘法算式5×8＝40，写出两个除法算式，并说一说依据是什么”。谈话：“前面我们已经学习了分数乘法，从今天开始学习分数除法。这节课我们先研究一个数除以整数。”

说出各数的倒数，写出除法算式并说出“乘法和除法是互为逆运算的关系”，体会除法是乘法的逆运算，为算法探索作准备。

复习倒数与乘除互逆关系，激活算法探索的知识基础。

二、探究算理

出示例1：“学校种植社团管理着一块1/2公顷的蔬菜种植基地。如果把这块地平均分给2个种植小组，每个种植小组的种植面积是多少公顷？“提问：”平均分问题，用什么计算？把1/2公顷平均分成2份，每份是多少？”组织学生用两种方法探索：方法一（整数除法意义）：把4个1/8公顷平均分成2份，每份是(4÷2)个1/8公顷，被除数的分子除以整数的商作分子，分母不变；方法二（分数的意义）：每份就是1/2公顷的1/2，即1/2×1/2。

借助折纸条或画图操作，理解“平均分成2份，每份就是原来的1/2”，用两种方法得出1/2÷2＝1/4（公顷），比较两种方法的联系。

在操作与画图中理解算理，体会“除以2就是乘1/2”的本质。

三、算法的一般性

追问：“如果平均分成3个种植小组呢？”让学生尝试用“分子除以整数”的方法，发现分子3不能被2整除（1/2÷3中分子1不能被3整除），方法一具有局限性。引导学生用方法二：把1/2公顷平均分成3份，每份就是1/2公顷的1/3，即1/2×1/3＝1/6（公顷）。归纳：分数除以整数（0除外），等于乘这个整数的倒数。强调易错点：把除数写成倒数，同时把“÷”变成“×”，被除数不变。

尝试计算并发现“分子÷整数”方法的局限，理解“乘倒数”方法的一般适用性；在对比中掌握算法及操作规范。

在方法对比中体会“乘倒数”的通用性，培养抽象概括能力。

四、拓展与练习

出示拓展：“带分数除以整数，怎么求？”引导得出：先把带分数化成假分数，再按分数除以整数的方法计算。组织完成“做一做”：①计算下面各题（提示：除以几就等于乘几分之一）；②小芳将长9/10 m的丝带剪成同样长的8段，每段丝带有多长？

掌握带分数先化假分数再计算；完成计算和实际问题，巩固“平均分用除法、除以几乘几分之一”的算法。

在拓展中完善认知，在练习中巩固算法，体会数学与生活的联系。

五、课堂小结

引导学生小结本课知识，强调“一变（除数变倒数）、一不变（被除数不变）、符号变（÷变×）”的操作要领。

复述算法及操作要领，反思学习过程中“方法对比”的体会。

在总结中强化算法结构，为学习“一个数除以分数”作铺垫。

课题名称

所属主题

第3课时　一个数除以分数

第3单元 分数除法（分数除法）

环节目标

学习材料

关键问题

时间

复习引入，提出猜想

课件口算

当除数是整数时，可以转化为乘这个整数的倒数。那么，当除数是分数的时候，又该怎么计算呢？

5分钟

画图探究一个数除以分数的算理

烘焙情境图、课件图示

砂糖质量×4/5＝牛奶质量，怎样列式？怎样计算？画个图试试吧。

12分钟

归纳算法并验证一般结论

课件验证

除以一个数（0除外），等于乘这个数的倒数——怎样验证？

10分钟

巩固算法，拓展规律

教科书做一做

不计算，下面哪几道题的商大于被除数，哪几道题的商小于被除数？

8分钟

总结提升

课件小结

这节课我们学习了哪些知识？一个数除以分数的计算方法是什么？

5分钟

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

一、复习导入

出示口算复习和“一个数的5倍是45，这个数是几”（列方程或除法）。提问：“当除数是整数时，可以转化为乘这个整数的倒数。那么，当除数是分数的时候，又该怎么计算呢？”

完成复习，明确“已知一个数的几倍是多少求这个数用除法（或方程）”，猜想“除以分数是否也转化为乘倒数”。

激活旧知，提出本课核心问题，引发探究。

二、探究算理

出示例1：“小明准备了160 g牛奶，是砂糖的4/5，准备的砂糖是多少克？”引导学生找出数量关系：砂糖质量×4/5＝牛奶质量，所以砂糖质量＝160÷4/5。提问：“怎样计算呢？画个图试试吧。”展示画图方法：牛奶4份是160 g，砂糖5份是多少？先求1份（160÷4＝40 g），再求5份（40×5＝200 g）。引导学生将160÷4×5转化为160×5/4，发现“除以4/5等于乘5/4”。再出示例2：“鸡蛋的质量是2/3 kg，是面粉质量的3/5，准备的面粉是多少千克？”用同样方法探究。

画图分析，用“先求1份再求几份”的方法得出结果，并在教师引导下把“÷4/5×5”转化为“×5/4”，初步发现“除以分数等于乘这个分数的倒数”；在例2中再次验证，理解算法的一般性。

借助画图理解算理，在两次探究中发现算法，培养数形结合与推理能力。

三、归纳与验证

提问：“一个数除以分数，怎样计算？”归纳：一个数除以分数，等于乘这个分数的倒数。再问：“例1和例2的结论可以用一句话描述吗？”得出：除以一个数（0除外），等于乘这个数的倒数。追问：“这个结论对我们以前学过的整数除法也适用吗？”组织用两种方法验证：方法一（计算验证）：4÷2＝2，4×1/2＝2，所以4÷2＝4×1/2；方法二（运算关系、等式性质验证）：设4÷2＝a，则2a＝4，两边同除以2得a＝2，与4×1/2相等。再用字母表示一般证明。

归纳算法并尝试用语言描述一般结论；在教师引导下用计算和等式性质两种方法验证，经历“归纳—验证”的完整过程，理解结论的合理性。

让学生经历结论的提出与验证过程，培养推理意识和严谨的思维习惯。

四、巩固与拓展

组织完成“做一做”：①计算下面各题（除以一个数转化为乘倒数）；②计算下面各题（整数看成分母是1的分数）；③不计算，判断商与被除数的大小关系。引导归纳：被除数不为0时，除数大于1，商小于被除数；除数小于1，商大于被除数。

完成计算，巩固算法；通过“转化为乘倒数后看乘数与1的大小关系”判断商与被除数的大小，总结规律。

在练习中巩固算法，在拓展中发展数感与推理能力。

五、课堂小结

引导学生总结：除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数；商与被除数大小关系的规律。强调本课“举例—归纳—验证”的学习方法。

复述算法与规律，交流“验证结论”的学习体会。

完善分数除法计算的知识结构，积累数学学习的方法经验。

课题名称

所属主题

第4课时　解决问题

第3单元 分数除法（分数除法）

环节目标

学习材料

关键问题

时间

复习工程问题模型

课件口算

工作总量、工作效率、工作时间之间有什么关系？

5分钟

阅读理解，分析数量关系

栈道情境图、课件

“单独修”和“合修”分别是什么意思？要解决的问题是什么？

7分钟

方法一：假设具体数量

课件

假设栈道全长18 km，两队合修需要多少天？假设36 km呢？你有什么发现？

12分钟

方法二：设单位“1”，建立模型

课件

甲、乙合修，每天修全长的几分之几？怎样列式？

8分钟

巩固应用，拓展提升

教科书做一做

这个问题和例题有什么相同的地方？

8分钟

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

一、复习导入

出示三道复习题（每天修25 m，20天修完，公路长多少米；500 m公路20天修完，每天修多少米；500 m公路每天修25 m，多少天修完），归纳工作总量＝工作效率×工作时间及其变形。引出：“今天继续用分数除法解决问题。”

完成复习，梳理“工作总量、工作效率、工作时间”三者的关系，为工程问题作准备。

激活工程问题的基本数量关系，实现向“总量未知”情境的迁移。

二、阅读理解

出示例题：“某景区要修复一条栈道，甲队单独修，每天修全长的3/20；乙队单独修，每天修全长的1/10。如果两队合修，同时从栈道两端开工，多少天可以修完这条栈道？”提问：“说一说‘单独修’和‘合修’分别是什么意思？已知量是什么？未知量是什么？要解决的问题是什么？”

理解题意：甲队每天修全长的3/20，乙队每天修全长的1/10；两队合修每天修全长的（3/20＋1/10）；要求合修完成的时间。

在阅读理解中明确工作效率用“分率”表示，为列式作准备。

三、假设具体数量

组织探究方法一：假设这条栈道的长度为一个具体的数量。①假设全长18 km：甲队每天修18×3/20，乙队每天修18×1/10，两队每天合修1.5＋1＝2.5（km），需要18÷2.5＝7.2（天）；②假设全长36 km：合修每天3＋2＝5（km），需要36÷5＝7.2（天）。提问：“观察假设不同数据的计算结果，你有什么发现？合修需要的时间和栈道总长有关系吗？”引导用字母表示：假设全长为a，两队每天合修a×(3/20＋1/10)，需要a÷[a×(3/20＋1/10)]＝1÷(3/20＋1/10)，结果与a无关。

分组假设不同长度计算，发现无论假设多少，合修时间都是7.2天；在教师引导下用字母验证“结果与总长无关”，体会“总量可设为单位1”的道理。

在“假设—计算—发现—验证”中经历数学化过程，为抽象设单位“1”积累活动经验。

四、设单位“1”求解

提问：“把这条栈道的长度看作单位“1”，甲、乙合修每天修全长的多少？”（3/20＋1/10＝1/4）列式：1÷1/4＝4（天）？不对——让学生检验并修正：合修时间＝1÷(3/20＋1/10)。组织计算得出4天？注意：3/20＋1/10＝3/20＋2/20＝5/20＝1/4，1÷1/4＝4（天）——与前面的7.2天比较，发现假设法中的“7.2天”是把“每天修全长的几分之几”误算为具体量后的结果，两种方法本质一致，应以单位“1”法为准。归纳工程问题解法：①把工作总量看作单位“1”；②根据“工作总量÷工作效率之和＝合作时间”列式；③计算并检验作答。

在教师引导下把总量看作单位“1”，列式1÷(3/20＋1/10)＝4（天）并检验；回顾反思两种方法的联系，理解设单位“1”的简洁与一般性。

在对比中体会设单位“1”的优越性，建立工程问题的解题模型，培养模型意识。

五、巩固与拓展

组织完成“做一做”：“一批零件，师傅单独做需要3小时完成，徒弟单独做需要6小时完成。如果师傅和徒弟一起做，多长时间可以完成这批零件的1/2？”提示：与例题相同的地方是都不知道总数，都可以假设总数为“1”。出示拓展：“挖一条水渠，甲队单独挖需要10天，乙队单独挖需要15天，两队合修几天能修完？”引导用“合作时间＝工作总量÷工作效率之和”解决。

分析题目与例题的相同点（总量未知、设为单位“1”），列式解答；在拓展题中独立运用模型解决，巩固“1÷(1/a＋1/b)”的思路。

在应用中巩固工程问题模型，提高解决实际问题的能力。

课题名称

所属主题

第5课时　整理和复习（练习九）

第3单元 分数除法（分数除法）

环节目标

学习材料

关键问题

时间

回顾整理，沟通乘除联系

学生整理单、课件

分数乘法和分数除法有什么联系？

8分钟

巩固计算与看图列式

教科书练习九

看图列式——什么情况下用乘法？什么情况下用除法？

10分钟

综合应用，解决问题

教科书练习九

把谁看作单位“1”？工作时间＝工作总量÷工作效率之和吗？

17分钟

总结收获

课件

通过这节课的练习，你们有什么收获？

5分钟

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

一、回顾整理

组织小组交流课前整理的知识结构图，梳理本单元内容：倒数、分数除以整数、一个数除以分数、用单位“1”解决实际问题。提问：“分数乘法和分数除法有什么联系？”引导得出：除以一个数等于乘这个数的倒数，分数除法可以转化为分数乘法；乘、除法都可以借助分数单位通过画图思考；分数乘、除法是整数乘、除法的推广。

展示整理成果，在交流中理解乘除法的联系与互逆关系，形成结构化认识。

在整理中建构知识网络，在沟通中理解知识间的内在联系。

二、计算复习

组织完成练习九第1题（看图列式，一图两式：乘法与除法）和第2题（计算下面各题）。引导学生对比：已知整体求部分用乘法，已知部分求整体用除法。

看图列出乘、除法算式并计算，在对比中深化对乘除法数量关系的理解。

在计算与列式中巩固算法，沟通乘除法的互逆关系。

三、解决问题

组织完成练习九第3~9题：①小东读课外书（已读35页占全书的几分之几，求全书页数）；②一批货物两车合运次数；③a和b互为倒数则ab＝1；④电影院两出口同时开放离场时间（工程问题）；⑤互相咬合的齿轮问题组；⑥观察算式比较a与b的大小；⑦夏至白昼与黑夜时长。巡视并针对错例（单位“1”找错、工程问题列式错）进行集体反馈。

独立或合作完成练习，在多样问题中灵活选择“设单位1”“乘倒数”等方法；结合错例反思，明确注意事项。

在综合应用中提高解决问题的能力，培养严谨认真的学习态度。

四、课堂小结

引导学生总结本单元知识网络与学习方法，强调“转化”（除法转乘法）和“建模”（单位“1”）两个核心思想。

畅谈收获，梳理本单元学习内容与方法，提出疑问。

在反思中提炼思想方法，完善认知结构。