第9单元 数学广角——鸡兔同笼

项目

内容

单元内容

第9单元 数学广角——鸡兔同笼

所属领域

综合与实践

教材版本

人民教育出版社（人教版）小学数学教科书

课时数

2 课时

课型结构

单元开启课、专题练习课

课时安排

课题

课型

核心任务

第1课时

鸡兔同笼

单元开启课

了解“鸡兔同笼”问题的结构特点，会运用列表法、假设法解决问题，初步形成解决此类问题的一般性策略。

第2课时

练习课（鸡兔同笼）

专题练习课

通过练习，进一步加深对“鸡兔同笼”问题的认识，建立解决这类问题的模型。

课题名称

所属主题

第1课时　鸡兔同笼

第9单元 数学广角——鸡兔同笼

环节目标

学习材料

关键问题

时间

一、历史激趣，揭示课题

课件

哪名同学能用自己的语言描述一下这道数学题？；你们能从题中得到哪些数学信息？

5分钟

二、合作探究，学习新知识

课件、教科书

解答出来了吗？；很多同学不知道怎么解答，也猜不出来。那么在什么情况下容易猜出答案呢？

25分钟

三、知识运用，巩固提高

教科书、课件

我们已经用不同的方法解决了简单的“鸡兔同笼”问题。现在能解决《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题了吗？

5分钟

四、课堂小结，情感升华

课件

今天我们研究了什么问题？你掌握了哪些解决“鸡兔同笼”问题的方法？

2分钟

五、拓展延伸，拓宽思路

教科书、课件

你想知道古人是怎么解决“鸡兔同笼”问题的吗？

3分钟

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

一、历史激趣，揭示课题

师：今天我想给同学们介绍一部我国古代数学名著——《孙子算经》，里面记载着许多有趣的数学名题，让我们来看看吧！(课件出示)

师：哪名同学能用自己的语言描述一下这道数学题？

师：这就是我们今天要学习的“鸡兔同笼”问题。（板书课题：鸡兔同笼）

师：你们能从题中得到哪些数学信息？

师：联系生活常识，题中还隐藏了什么已知条件？

师：已知条件都找到了，大家想一想、算一算鸡和兔各有多少只。

如果学生不能很顺利地理解古文中的含义，老师可以帮助学生翻译过来，确保学生正确理解题意。

学生小组内讨论，再指名汇报。(课件出示译题)

鸡和兔共有35只，鸡和兔共有94只脚。

鸡有2只脚，兔有4只脚。

学生尝试解答。

通过数学名著《孙子算经》的介绍和“鸡兔同笼”问题的导入，激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性，引发学生的数学思考。

二、合作探究，学习新知识

1.感受化繁为简的必要性。

师：解答出来了吗？

师：很多同学不知道怎么解答，也猜不出来。那么在什么情况下容易猜出答案呢？

师：是啊，数字大了就很难猜出来，那我们把数字改小些试试看。

2.探究解法。

（1）课件出示教科书P99例1。

师：从题目中你们能获取哪些数学信息？要求鸡和兔各有几只，咱们不妨猜一猜，好吗？

（2）探究列表法。

师：可能的情况有很多种，怎样才能知道哪一种符合题意呢？

①教师引导学生得出：鸡和兔一共有8只，再看鸡的脚的数量和兔的脚的数量加起来是否等于26只。

②师：鸡和兔一共有8只，有很多种情况，我们可以用表格一一列举出来。（出示课件）

③展示交流。

请做得快的小组到黑板上完成表格。

师：你们同意吗？大声地告诉我这道题的答案是多少。

④小结：同学们真不错！像这样利用表格按顺序列出所有的情况，进而找到问题答案的方法叫作列表法。这是我们解决问题非常好的一种方法。（板书：列表法）

猜测虽然效率低，不具有普遍性，但这样的经历是必要的，是后面学习列表法、假设法的基础。

（3）探究假设法。

①师：我们刚才用列表法解决了这个问题，但数据变大后，列举出的情况太多了，你还有其他的解题方法吗？（提示：把鸡或兔的只数假设成0只，计算起来会更简单。）

②师：如果从最特殊的情况出发，假设笼子里全是鸡，那么一共有多少只脚？

提示学生画图表示。

每只鸡2只脚，一共有8×2=16（只）脚，实际比假设还多出26-16=10（只）脚。

师：为什么会多出10只脚呢？（因为笼子里有兔。）

引导学生发现：每只鸡再加2只脚变成兔，10只脚需要把5只鸡变成5只兔。最后剩下的3只就是鸡。（教师动态演示课件）

③师：刚才边画图边思考的过程能否用算式表示出来呢？两人一组讨论完成下面的题目。（出示课件）

师：思路非常清晰。

师：怎样区分后面鸡、兔的只数？

（4）假设法的简单应用。

师：我们刚才用假设都是鸡的方法求得了答案，那么能否假设都是兔来解决呢？

教师适时板书。

假设法是更具逻辑性和一般性的解法，是解决此类问题的算术解法中较为普遍的一种解法。要让学生经历“假设——计算——推理——解答”的过程。

（5）教师小结。

师：刚才通过假设笼子里都是鸡或者都是兔的情况，发现规律，得出答案，这种解决问题的方法叫作假设法。这也是解答“鸡兔同笼”问题的一种基本方法。（板书：假设法）

学生沉默或回答不能。

数太大了，小一些就可以试出来或者猜出来。

学生进行猜想并回答。

预设1：我猜想鸡有4只，兔有4只。（鼓励学生大胆说出自己的想法）

预设2：我猜想鸡有2只，兔有6只，因为鸡和兔一共有8只。（教师：不错！知道有根据地去猜想。）

预设3：我猜想鸡有3只，兔有5只。因为我们不光要考虑鸡和兔一共有8只，还要考虑是不是一共有26只脚。（教师：真是善于思考的孩子！考虑得真全面！）

学生试着填写教科书P100的表格，在小组内交流做法。

鸡3只，兔5只。

学生根据教师的要求画出8个圆代表鸡，然后画出相应的脚。

学生讨论，教师巡视并给予相应指导。

④学生汇报讨论结果，教师相应板书。

假设笼子里都是鸡，每只鸡有2只脚，一共有8×2=16（只）脚，还差26-16=10（只）脚。一只兔比一只鸡多4-2=2（只）脚，也就是有10÷2=5（只）兔，所以笼子里有8-5=3（只）鸡，5只兔。

假设全是鸡，先算出来的是换进去的兔的只数，即兔的实际只数。

预设1：假设笼子里都是兔，每只兔有4只脚，一共有8×4=32（只）脚，多出32-26=6（只）脚。一只鸡比一只兔少4-2=2（只）脚，也就是有6÷2=3（只）鸡，所以笼子里有3只鸡，8-3=5（只）兔。

预设2：假设都是兔，先算出来的是换进去的鸡的只数，即鸡的实际只数。

让学生体会到从简单问题入手的必要性，初步感受化繁为简是探究解决问题策略的有效途径之一。

本环节通过引导学生经历猜想、有根据地猜想，再到根据需要列表验证的过程，让学生学会有序思考，为后面探究假设法奠定了基础。

本环节让学生充分经历了观察、比较、推理、归纳、概括等数学活动与数学思考，探究出用假设法解决“鸡兔同笼”问题。充分的探究活动，既培养了学生的推理能力，又有效促进了学生逻辑思维能力的发展。

三、知识运用，巩固提高

1.解决“鸡兔同笼”数学趣题。

（1）师：我们已经用不同的方法解决了简单的“鸡兔同笼”问题。现在能解决《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题了吗？你会选择哪一种方法来解题呢？为什么？

（2）学生独立解答后，教师指名学生上台展示结果并说说是怎么想的。

2.感悟模型，解决实际问题。

师：“鸡兔同笼”的问题并不仅仅局限在解决与动物有关的问题上，它在我们的日常生活中也有着广泛的应用。

教科书P101“练习二十四”第3题。

（1）学生读题，独立解答，教师巡视，准备投影仪展示学生的答案。

（2）学生上台展示，说说自己是怎么想的。

数目比较大时，列表法的计算量较大，有局限性，比较麻烦，用假设法比较好。

学生通过自主探究、比较后很容易得出假设法是解决“鸡兔同笼”问题的一般方法。围绕本课的教学重难点，解决实际问题，让学生感悟“鸡兔同笼”问题不仅仅是鸡兔问题，生活中的实际问题只要符合这种数量关系，就可以用类似的方法解答。有层次、有针对性地练习，能加深学生对本课所学知识的理解，培养学生思维的灵活性。

四、课堂小结，情感升华

师：今天我们研究了什么问题？你掌握了哪些解决“鸡兔同笼”问题的方法？

师：同学们，这是一道比较复杂的难题，却被我们四年级的同学解决了，真是不简单，我为你们感到自豪。让我们为自己今天的精彩表现鼓鼓掌吧

——

让学生自己总结所学知识，不仅能进一步内化本课所学的内容，而且学生经历了自我总结、评价的过程，更能让学生在知、情、意、行等方面同时得到发展。

五、拓展延伸，拓宽思路

师：你想知道古人是怎么解决“鸡兔同笼”问题的吗？请同学们在课后自学教科书P100的“阅读资料”，并上网查找更多“鸡兔同笼”问题的解法。

——

围绕环节目标组织学习活动，引导学生主动参与、积极思考，核心问题："你想知道古人是怎么解决“鸡兔同笼”问题的吗？"

课题名称

所属主题

第2课时　练习课（鸡兔同笼）

第9单元 数学广角——鸡兔同笼

环节目标

学习材料

关键问题

时间

一、基础练习，建立模型

教科书、课件

“鸡兔同笼”问题有什么特点？我们可以用哪些方法来解决“鸡兔同笼”问题？

10分钟

二、加强练习，巩固新知识

教科书、教科书P101~102、课件

思考一下，这两个问题与前面研究的“鸡兔同笼”问题有什么相同之处呢？；什么相当于“鸡”？什么相当于“兔”？什么又相当于“总只数”和“总脚数”？

23分钟

三、拓展练习，拓宽视野

教科书、课件

——

7分钟

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

一、基础练习，建立模型

1.基础练习。

（1）学生独立完成教科书P100“做一做”。

（2）集体交流。

2.回顾“鸡兔同笼”问题的特点和解法。

师：“鸡兔同笼”问题有什么特点？我们可以用哪些方法来解决“鸡兔同笼”问题？

根据学生的实际回答，教师适时引导，归纳得出：解决“鸡兔同笼”问题，可以有多种解法。当数目比较小时，用列表法比较好；当数目比较大时，用假设法比较好。

师：我们生活中也有许多和“鸡兔同笼”问题相似的问题。今天我们就一起来解决这些问题。

本题对于学生来说并不是很难，要注意引导学生读取题中的隐藏条件。

预设1：已知鸡和兔的总数和它们的脚的总数，要分别计算鸡和兔各有几只。

预设2：可以用列表法、假设法来解决问题。

通过基础练习，引导学生回顾整理，建立“鸡兔同笼”问题的数学模型，培养学生的模型思想。

二、加强练习，巩固新知识

1.加深对“鸡兔同笼”问题中的数量关系的理解。

教科书P101“练习二十四”第1、2题。

（1）师：思考一下，这两个问题与前面研究的“鸡兔同笼”问题有什么相同之处呢？

师：什么相当于“鸡”？什么相当于“兔”？什么又相当于“总只数”和“总脚数”？

（2）学生独立完成。

（3）交流分享。

首先，可让学生独立完成这些问题，在集体订正中修正自己的解法。然后，教师可组织学生进行交流，感悟“鸡兔同笼”问题的本质。

2.解决生活中的实际问题。

（1）教科书P101~102“练习二十四”第4、7题。

①师：这两题都是生活中的“鸡兔同笼”问题，请认真读题，分别说说这两题中什么相当于动物的总只数，什么相当于每种动物的脚的只数，什么相当于两种动物的脚的总只数。

（2）教科书P101“练习二十四”第5题。

①引导学生理解题意，找出与解决问题无关的信息:“张鹏投了15个球”。

（3）教科书P102“练习二十四”第6题。

①师：这道题是知识抢答中的“鸡兔同笼”问题。大家独立做一做。

一般学生不容易找准实际问题与“鸡兔同笼”问题之间的联系，在教师引导理解之后，学生能独立完成。

预设1：植树的总人数相当于动物的总只数，男生和女生每人的植树棵数相当于每种动物的脚的只数，植树的总棵数相当于两种动物的脚的总只数。

预设2：买的篮球和排球的总个数相当于动物的总只数，篮球和排球每个的价格分别相当于每种动物的脚的只数，花的总钱数相当于两种动物的脚的总只数。

②学生独立完成后展示交流。

②学生独立完成。

②学生独立完成后交流分享。

本题是一个变式题，学生独立解答有一定的难度，错误率应该比较高。要训练学生综合分析问题的能力，也就是要正确理解和分析“答对一题加10分，答错一题扣6分”这一条件。针对学生犯的不同的错误进行分析并指正，在更正的过程中理解题中的数量及数量关系。

教科书P101“练习二十四”第1、2题重在引导学生加深对“鸡兔同笼”数量关系的理解。教科书P101~102“练习二十四”第4、5、7题的信息呈现方式灵活多变，注意培养学生提取信息的能力。第6题重在训练学生综合分析问题的能力。本环节借助实际问题的解决过程，巩固列表法、假设法等解决这一类问题的方法，让学生体会了数学与生活的联系，培养学生在实际生活中发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

三、拓展练习，拓宽视野

教科书P102“练习二十四”思考题。

引导学生灵活解决“百僧百馍”问题，如从题中信息可知“4个馒头正好分给1个大和尚和3个小和尚”。所以我们可以把100个馒头每4个分为一组，一共可以分成100÷4=25(组）。100个和尚也正好分成这样的25组，每组中有1个大和尚和3个小和尚，这样就可知大和尚有25个，小和尚有75个。

学生独立解答后展示交流。

本题是另一个古代数学趣题“百僧百馍”问题，引导学生根据题意灵活求解，不仅增加了解决问题的趣味性，而且拓宽了学生的视野。