第5单元 圆

项目

内容

单元内容

第5单元 圆

所属领域

图形与几何

教材版本

人民教育出版社（人教版）小学数学教科书

课时数

9 课时

课型结构

单元开启课、活动探索课、自主整理课、主题拓展课

课时安排

课题

课型

核心任务

第1课时

圆的认识

单元开启课

联系生活实际认识圆，学会用圆规画圆，认识圆心、半径、直径及其字母表示，理解并掌握圆的特征；

第2课时

扇形的认识

活动探索课

认识弧、圆心角以及它们之间的对应关系，掌握扇形的基本特征，能准确辨认扇形；

第3课时

圆的周长

活动探索课

认识圆的周长，能用滚动、绕线等方法测量圆的周长，理解并掌握圆的周长计算公式C=πd=2πr；

第4课时

圆的面积（1）

活动探索课

经历操作、观察、验证、讨论和归纳等过程，探索并掌握圆的面积计算公式，能正确计算圆的面积；

第5课时

圆的面积（2）

活动探索课

进一步掌握求圆的面积的方法，会求圆环的面积，会利用图形的运动转化求圆中涂色部分的面积；

第6课时

解决问题

活动探索课

运用圆的面积公式探究“外方内圆”和“外圆内方”两种设计中正方形和圆之间的关系，认识组合图形的特征；

第7课时

整理和复习（练习十三）

自主整理课

加深对圆和扇形的理解和认识，巩固圆的周长、面积的计算方法，能解决与圆有关的实际问题；

第8课时

体育中的数学

主题拓展课

了解田径场跑道的结构，学会确定跑道起跑线的方法；

第9课时

利用圆设计图案

主题拓展课

会利用直尺和圆规设计一些和圆有关的图案；

课题名称

所属主题

第1课时　圆的认识

第5单元 圆（圆）

环节目标

学习材料

关键问题

时间

在生活情境中抽象出圆的图形

课件（中国天眼、涟漪、摩天轮、月亮门、环岛路）

这些物体你见过吗？它们是什么形状？生活中还有哪些圆形物体？

4分钟

经历多种画圆方法的比较，学会用圆规画圆

圆形实物、细绳、圆规

你能想办法在纸上画一个圆吗？这些方法各有什么局限？用圆规画圆要注意什么？

9分钟

认识圆心、半径、直径

圆规、圆形纸片、课件

什么是圆心、半径、直径？半径和直径有什么关系？

9分钟

探究圆的特征，感悟“一中同长”文化

圆形纸片、课件（墨子语录）

圆是轴对称图形吗？有多少条对称轴？“一中同长”是什么意思？圆的大小和位置与什么有关？

9分钟

巩固画图与特征应用

教科书做一做

怎样用圆规画半径2 cm的圆？怎样找到杯口画的圆的圆心？

9分钟

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

一、情境导入

出示中国天眼俯视图、水滴涟漪、摩天轮、月亮门、环岛路俯视图等图片。提问：“这些物体的表面是什么形状？你能举例说说生活中的圆吗？”指出：圆是常见的曲线图形，今天系统地研究圆。

观察图片说出圆形，举例（车轮、盘子、钟面、硬币等），初步感受圆在生活中的广泛应用。

从大量生活实例中抽象出圆的图形，激发学习兴趣。

二、画圆的方法

提问：“你能想办法在纸上画一个圆吗？”组织学生尝试用实物画圆、系绳画圆，比较两种方法的局限（大小不能随意变化、绳子要有弹性、要拉直）。再讲解圆规画圆三步：取点（定圆心O）、定长定点（两脚分开、针尖固定）、旋转一周。追问：“画圆时针尖脚能动吗？两脚距离能变吗？”

尝试用实物描圆、系绳画圆，在比较中体会局限；学习圆规画圆的方法并练习，明确“针尖固定不动、两脚距离不变”的操作要点。

在方法比较中突出圆规画圆的优越性，掌握规范画图技能。

三、认识各部分名称

结合画圆过程讲解：针尖固定的一点是圆心，用字母O表示；连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，用字母r表示，半径长度就是圆规两脚间的距离；通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，用字母d表示。组织学生在所画圆上标出O、r、d，提问：“一个圆中有多少条半径、多少条直径？直径和半径有什么关系？”

在圆上标出圆心、半径、直径；通过画一画、量一量发现：同一个圆中所有的半径都相等，所有的直径都相等，直径长度是半径的2倍（d=2r，r=d/2），直径是圆内最长的线段。

把画圆经验与概念建立融合，通过操作发现半径、直径的关系。

四、圆的特征

组织折圆活动：沿直径对折，发现圆是轴对称图形，有无数条对称轴（直径所在的直线）。介绍墨子“圆，一中同长也”（比西方早1000多年）：“一中”指只有一个圆心，“同长”指圆心到圆上各点距离相等。再出示两组圆（同位置不同大小、同大小不同位置），提问：“圆的大小与什么有关？位置与什么有关？”

对折圆形纸片发现圆是轴对称图形、有无数条对称轴；理解“一中同长”的含义；通过比较得出：半径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

在操作中发现圆的本质特征，结合数学文化加深理解，发展空间观念。

五、巩固练习与小结

组织完成“做一做”：①用圆规画一个半径2 cm的圆，标出O、r、d；②想办法找出用杯口画出的圆的圆心。组织反馈与小结（圆的特征、画圆方法）。

规范画圆并标注；用“对折两次，折痕交点是圆心”的方法找圆心；梳理本课收获。

在练习中巩固画图技能与特征理解，培养解决问题的能力。

课题名称

所属主题

第2课时　扇形的认识

第5单元 圆（圆）

环节目标

学习材料

关键问题

时间

从生活实物中感知扇形

课件（折扇、蛋糕、拱桥）

这些物体你见过吗？把折扇的外形描一描，你发现了什么？

5分钟

认识扇形各部分名称，明确扇形与圆的关系

圆形纸片、课件

什么是弧？什么是扇形？什么是圆心角？扇形和圆有什么关系？

10分钟

探究扇形大小的决定因素

圆形纸片、课件（大小不同的扇形）

同一个圆中扇形的大小与什么有关？不在同一个圆中呢？

10分钟

认识特殊扇形（半圆、四分之一圆）

圆形纸片

以半圆为弧的扇形，圆心角是多少度？四分之一圆为弧的呢？

7分钟

巩固辨认与画图

教科书做一做

下列物体中哪些地方有扇形？怎样画一个圆心角100°的扇形？

8分钟

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

一、情境导入

出示折扇、蛋糕、拱桥图片。提问：“这些物体你见过吗？知道它们是什么形状吗？”让学生在纸上描出折扇外形，观察描出的图形，引出：这样的图形叫作扇形。

描出折扇外形，发现“由一条曲线和两条线段围成”的图形，初步感知扇形。

从熟悉实物抽象出扇形，建立初步表象。

二、认识扇形

讲解：圆上A、B两点之间的部分叫作弧，读作“弧AB”；一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形；像∠AOB这样顶点在圆心的角叫作圆心角。组织学生在圆上画出扇形并互相指认（弧、半径、半径、圆心角）。

在圆中画出扇形，指认弧、两条半径与圆心角，理解“扇形是圆的一部分”。

通过画图与指认，建立扇形各要素的概念及其与圆的联系。

三、扇形的大小

组织学生在同一个圆中画几个不同大小的扇形，比较后发现：同一个圆中扇形的大小与圆心角大小有关，圆心角越大，扇形越大。再出示圆心角相同但半径不同的扇形，提问：“半径不同，扇形大小还一样吗？”得出：圆心角一样时，半径越长，扇形越大。

画图比较发现“同圆中圆心角决定扇形大小”；对比不同圆的扇形，理解半径也影响扇形大小。

在对比实验中归纳影响扇形大小的两个因素，培养归纳推理能力。

四、特殊的扇形

组织对折活动：把圆对折成半圆，以半圆为弧的扇形圆心角是180°（平角）；再对折成四分之一圆，圆心角是90°（直角）。追问：“圆有几条对称轴？扇形有几条？”

通过对折得出半圆扇形圆心角180°、四分之一圆扇形圆心角90°；发现圆有无数条对称轴，扇形只有1条。

在折纸中发现特殊扇形与对称轴，加深对扇形特征的理解。

五、巩固练习与小结

组织完成“做一做”：①指出物体中的扇形；②画一个半径2 cm的圆，再画一个圆心角100°的扇形（先画100°角，角的另一边为另一条半径）。反馈并小结。

辨认生活中的扇形；按步骤画出指定扇形，梳理“扇形定义、圆心角、大小因素”等收获。

在辨认与作图中巩固概念，落实作图技能。

课题名称

所属主题

第3课时　圆的周长

第5单元 圆（圆）

环节目标

学习材料

关键问题

时间

在生活问题中产生测量圆周长的需要

课件（圆桌、菜板开裂图）

要给圆桌和菜板边缘箍一圈铁皮，分别需要多长的铁皮？

5分钟

用多种方法测量圆的周长，体会化曲为直

圆形实物、绳子、直尺

怎样测量圆的周长？滚动法、绕绳法各是怎样做的？

8分钟

探究圆的周长与直径的关系，认识圆周率

一元硬币、圆形纸片、杯盖、计算器

圆的周长可能和什么有关？周长除以直径的结果有什么规律？

12分钟

推导并应用圆的周长公式

课件（汽车里程表问题）、计算器

怎样用π表示圆的周长？轮子转1圈走多远？总里程已知，怎样求转动圈数？

10分钟

巩固公式的正逆向使用

教科书做一做

已知r或d怎样求周长？已知周长怎样求直径？

5分钟

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

一、情境导入

出示圆桌和菜板边缘开裂的图片。提问：“需要在它们的边缘箍上一圈铁皮，分别需要多长的铁皮？要计算铁皮长度，实际在计算什么？”引出：围成圆的曲线的长是圆的周长。

理解箍铁皮就是求圆桌和菜板边缘一周的长度，即圆的周长，明确学习任务。

从真实问题引出圆的周长的意义。

二、测量圆的周长

提问：“怎样求出圆形物体一周的长度？”组织学生操作：方法一，滚动法（起点与0刻度对齐，沿直尺滚动一圈）；方法二，绕绳法（绳绕一圈做标记，再量绳长）；方法三，用卷尺直接量。比较后指出：这些方法都把“曲”变成了“直”。

选择实物动手测量，尝试滚动法、绕绳法，记录测量结果，体会“化曲为直”的思想。

在操作中掌握测量方法，渗透转化思想。

三、圆周率的探究

提问：“用绕线或滚动的方法测量太麻烦，有时也做不到，怎样准确计算圆的周长？你觉得圆的周长可能和什么有关？”引导学生猜想与直径有关后，组织测量几个圆的周长和直径，计算“周长÷直径”，填入表格（一元硬币6.9/2.2、圆形纸片12.5/4、杯盖22/7，结果都是3.14左右）。归纳：任意一个圆的周长除以它的直径，结果是一个固定的数，叫作圆周率，用π表示，π是无限不循环小数，实际应用中常取近似值3.14。介绍祖冲之把π精确到小数点后7位（早国外约1000年）。

测量、计算、填表，发现每个圆的周长÷直径都大约是3.14，理解圆周率的意义；了解祖冲之的成就，增强民族自豪感。

经历测量—猜想—验证的完整探究过程，自主发现圆周率，渗透极限与文化教育。

四、周长公式与应用

引导学生由“周长÷直径=π”推出：如果用C表示圆的周长，就有C=πd或C=2πr。出示例题：汽车轮子直径75 cm，转1圈走多远？（C=πd，3.14×75=235.5 cm=2.355 m）这辆车总里程4710 km，轮子一共转了多少圈？（4710000÷2.355=2000000圈）

推导公式C=πd=2πr；解决轮子行程问题，理解“转1圈的路程=轮的周长、圈数=总里程÷周长”，体会公式的应用价值。

在推导与真实问题应用中巩固公式，发展应用意识。

五、巩固练习与小结

组织完成“做一做”：①求各圆周长（r=3 cm、d=8 cm、r=5 cm）；②已知圆桌面周长6.28 m，求直径（d=C÷π）。反馈并小结（周长意义、π、公式）。

独立计算并汇报；由周长逆推直径，理解公式的变形；梳理本课收获。

在正逆两向练习中熟练运用公式，完善认知。

课题名称

所属主题

第4课时　圆的面积（1）

第5单元 圆（圆）

环节目标

学习材料

关键问题

时间

在估算中感受圆面积与半径平方的关系

圆形纸片（r=10 cm）、透明方格纸

什么是圆的面积？如果圆的半径是10 cm，怎样求它的面积？

9分钟

回忆旧知，明确转化思路

课件（面积公式推导图）

平行四边形、三角形、梯形的面积公式是怎样推导的？圆能不能转化成学过的图形？

5分钟

剪拼操作，推导圆的面积公式

圆形纸片（16等分、32等分）、剪刀、课件

把圆8等分、16等分、32等分后剪拼，拼出的图形像什么？等分的份数越多越接近什么？

12分钟

了解割圆术，巩固公式应用

课件（割圆术、风电机组情境）、计算器

刘徽的割圆术是怎样做的？已知r、d、C分别怎样求圆的面积？

10分钟

巩固公式的灵活运用

教科书做一做

已知周长怎样求面积？

4分钟

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

一、估一估

提问：“什么是圆的面积？”（圆所占平面的大小）如果圆的半径为10 cm，怎样求这个圆的面积？组织用透明方格纸数方格：①只数整数格（69×4=276）；②不满一格算整格（86×4=344）；③不满一格算半格（77.5×4=310）。追问：“小方格分得越来越小，结果会怎样？”

数方格估算圆面积（大于276 cm²、小于344 cm²、约310 cm²），发现圆的面积大约是半径平方的3.1倍，理解方格越小估算越精确。

在估算中感受圆面积与r²的关系，为公式推导提供猜想依据，渗透极限思想。

二、回顾转化方法

引导学生回忆：平行四边形转化成长方形、三角形转化成平行四边形、梯形转化成平行四边形，都是用了转化的方法。提问：“能不能把圆也转化成学过的图形来计算面积？找一个圆，通过剪、拼的方法试一试。”

回忆已有面积公式的推导方法，明确“把圆转化成已学图形”的研究思路。

激活转化经验，为圆的面积推导搭建方法桥梁。

三、剪拼推导

组织把圆8等分、16等分、32等分后剪开，拼成近似的平行四边形（课件同步演示）。追问：“等分的份数越来越多，拼出的图形会越来越接近什么形状？”引导观察：分的份数越多，拼成的图形越接近长方形，长方形的长相当于圆周长的一半（πr），宽相当于半径（r）。由长方形面积=长×宽推出：圆的面积=πr×r=πr²。

动手剪拼，观察比较8、16、32等分后的图形，发现越接近长方形；理解“长≈πr、宽≈r”，从而推出S=πr²。

在操作与观察中完成公式推导，体会化曲为直与极限思想。

四、应用与文化

介绍刘徽的“割圆术”（从圆内接正六边形开始，边数逐次加倍逐步逼近圆）。出示例题：全球首台20兆瓦海上风电机组叶轮半径150 m，扫风面积是多少？（3.14×150²=70650 m²）大约相当于几个足球场（105 m×68 m）？（70650÷7140≈10个）归纳三种求法：已知r用S=πr²；已知d先求r；已知C先由C=2πr求r。

了解割圆术；列式计算扫风面积并比较足球场个数，掌握由d、C求面积的转化方法。

在文化浸润与实际应用中巩固公式，培养模型意识。

五、巩固练习与小结

组织完成“做一做”：①圆形茶几桌面直径1 m，面积是多少？（先求r再求S）②圆形蓄水池周长约31.4 m，占地面积约是多少？（由C求r再求S）追问：“我们是怎样推导出圆的面积计算公式的？”

独立完成两题，理顺“周长→半径→面积”的思路；回顾推导过程，梳理“转化+极限”的思想。

在综合练习中熟练公式，回顾提炼思想方法。

课题名称

所属主题

第5课时　圆的面积（2）

第5单元 圆（圆）

环节目标

学习材料

关键问题

时间

复习导入，引出圆环

课件

已知r=2 cm怎样求面积？已知d=6 dm呢？大圆中间挖去一个小圆得到什么图形？

5分钟

认识圆环，探究圆环面积

圆环教具、课件（青玉璧）、计算器

什么是外圆、内圆、环宽？圆环的面积怎样求？两种算法有什么不同？

12分钟

用平移、旋转转化不规则图形

课件（转化动画）

右图涂色部分可以怎样转化成一个规则图形？

10分钟

巩固练习与小结

教科书做一做

怎样求涂色部分面积？用平移转化成长方形后怎样算？

6分钟

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

一、复习导入

出示练习：求r=2 cm、d=6 dm的圆的面积（12.56 cm²、28.26 dm²）。提问：“一个大圆，中间挖去一个小圆，能得到什么图形？”引出圆环。

复习已知r、d求面积；观察得出挖去小圆后得到圆环，明确本课学习内容。

复习旧知，引出新图形，建立学习起点。

二、圆环的面积

讲解：圆环是两个大小不同的同心圆，较大的叫外圆、较小的叫内圆，两圆之间的宽度叫环宽。出示例题：故宫“青玉御题蚕纹璧”，外圆直径26.3 cm，内圆直径5.4 cm，面积约多少？呈现两种方法：小丽：外圆面积-内圆面积（π×13.15²-π×2.7²≈520.1 cm²）；小明：π(R²-r²)（3.14×165.6325≈520.1 cm²）。组织比较异同，归纳：S环=πR²-πr²=π(R²-r²)；已知直径则先求半径。

认识圆环各部分；理解“外圆面积-内圆面积”的算理；比较两种算法的相同点与简便性，掌握圆环面积公式。

在真实文物情境中探究圆环面积，体会算法优化。

三、转化求面积

出示例题：大半圆挖去一个小半圆再加一个小半圆。引导发现：把右边的小半圆绕大半圆圆心顺时针旋转180°到左边，涂色部分刚好是一个大半圆（3.14×5²÷2=39.25 cm²）。再出示长方形挖去半圆再加半圆的图形，把上面的半圆平移到下面，涂色部分刚好是一个长方形（(3×2)×3=18 cm²）。归纳：求不规则图形的面积，可以先通过旋转或平移转化为规则图形再计算。

观察想象旋转、平移后的图形，理解转化的道理，列式计算，归纳转化方法。

在图形运动中体验转化思想，培养空间观念。

四、巩固练习与小结

组织完成“做一做”（求各图形涂色部分面积）：①S圆环=S外圆-S内圆；②平移转化为长方形；(1+2)×2=6 cm²；③旋转转化为圆：3.14×(1+1+1)²×1/4=7.065 cm²。小结：圆环面积与转化方法。

完成练习，说明转化思路；梳理“圆环面积公式、旋转平移转化”两方面的收获。

巩固圆环面积与转化策略，形成方法结构。

课题名称

所属主题

第6课时　解决问题

第5单元 圆（圆）

环节目标

学习材料

关键问题

时间

在建筑文化情境中提出问题

课件（外方内圆、外圆内方建筑图案）

你见过这些图案吗？什么是外方内圆？什么是外圆内方？

5分钟

假设列举，探究“外方内圆”的面积关系

方格纸、课件（数据表）

圆的半径和正方形的边长都不知道怎么办？圆面积是正方形面积的几分之几？

12分钟

转化分解，探究“外圆内方”的面积关系

课件（三角形分解图）

正方形的边长不知道，怎样计算它的面积？

10分钟

沟通两种设计的关系

课件（重叠图）

把两个图形重叠在一起，你能发现什么？把小正方形旋转呢？

6分钟

应用规律解决问题

教科书做一做

已知正方形面积是20 cm²，怎样求圆的面积和涂色部分面积？

7分钟

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

一、情境导入

出示我国古建筑中的“外方内圆”“外圆内方”窗棂图案。提问：“这些图案你见过吗？”讲解：“外方内圆”就是研究正方形内最大的圆，“外圆内方”就是研究圆内最大的正方形。提出问题：“这两种设计中正方形和圆面积之间有什么关系？”

欣赏图案，理解“外方内圆”“外圆内方”的含义，明确探究任务。

在传统文化情境中提出探究问题，激发兴趣。

二、探究外方内圆

提问：“圆的半径和正方形的边长都不知道，怎么办？”引导学生假设半径分别为1 cm、2 cm、3 cm，计算圆的面积（π、4π、9π）与正方形面积（边长a=2r，4、16、36）。观察归纳：圆面积是正方形面积的π/4。

假设半径列举计算，填表观察，发现无论半径多少，圆面积总是正方形面积的π/4。

用假设列举发现规律，培养归纳推理能力。

三、探究外圆内方

提问：“外圆内方中正方形的边长不知道，怎样计算它的面积？”引导把正方形看作两个三角形，底是圆的直径（2r），高是圆的半径（r）：正方形面积=三角形面积×2=直径×半径÷2×2=直径×半径=2r²。列举r=1、2、3（正方形面积2、8、18，圆面积π、4π、9π），归纳：圆面积是正方形面积的π/2。

理解“正方形分成两个三角形”的分解思路，列举计算后发现圆面积是正方形面积的π/2。

在分解转化中发现规律，体会几何直观。

四、沟通联系

出示重叠图：把小正方形旋转45°，发现大正方形的面积是小正方形的2倍。提问：“为什么？（大正方形边长是小正方形边长的√2倍，面积是2倍）”（结合图示定性说明即可，不做√2的计算要求。）

观察重叠与旋转后的图形，发现大正方形面积是小正方形面积的2倍，理解两种设计之间的联系。

在图形运动中沟通两种设计的关系，发展空间观念。

五、巩固练习与小结

组织完成“做一做”：已知正方形面积20 cm²，利用“圆面积是正方形面积的π/4”求出圆的面积（20×π/4=15.7 cm²），再求涂色部分面积（20-15.7=4.3 cm²）。小结本课发现的规律。

运用规律解题，体会“不用求半径也能算面积”的简洁；梳理两类设计中的面积关系。

在应用中巩固规律，体会假设归纳方法的价值。

课题名称

所属主题

第7课时　整理和复习（练习十三）

第5单元 圆（圆）

环节目标

学习材料

关键问题

时间

回顾整理，构建知识网络

课件（知识结构图）

本单元学习了哪些知识？圆和扇形各有什么特征？周长和面积公式是怎样得到的？

12分钟

基本练习，巩固公式

课件、计算器

求中国天眼圈梁一圈的长度？求双面绣圆面的面积？

10分钟

综合练习，突破难点

课件、计算器

做铁环最多几个？结果怎样取整？旋转木马栏杆内占地面积是多少？已知正方形面积怎样求圆面积？

13分钟

拓展练习与课堂小结

课件

压路机前进多远？组合图形的周长面积怎样算？十环面积是九环的几分之几？

10分钟

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

一、回顾整理

组织学生回顾整理：圆的特征（一中同长、圆心定位置、半径定大小、d=2r、轴对称无数条对称轴）、扇形（弧+两条半径、圆心角决定大小）、周长（C=πd=2πr，化曲为直）、面积（S=πr²，剪拼转化）、圆环与组合图形。师生共同完成知识结构图。

分组整理本单元知识，汇报交流，形成“特征—周长—面积—应用”的知识网络，沟通“化曲为直”“转化”的主线。

在自主整理中建构知识网络，把握单元主线。

二、巩固运用（一）

组织完成练习十三第1~2题：①“中国天眼”圈梁直径500 m，沿圈梁走一圈约多少米？（3.14×500=1570 m）②双面绣圆面直径20 cm，面积是多少？（3.14×(20÷2)²=314 cm²）反馈算理（先求r再求面积）。

独立完成并汇报，说明已知d求周长、面积的思路，巩固公式。

在真实情境中巩固基本计算。

三、巩固运用（二）

组织完成第3~5题：①10 m铁条做直径50 cm铁环，最多几个？（3.14×0.5=1.57 m，10÷1.57≈6个，余料不够做一个用“去尾法”）②旋转木马直径8 m、四周留1 m小路，栏杆内占地面积？（(8+1+1)÷2=5 m，3.14×5²=78.5 m²）③正方形面积10 cm²，求圆面积（r²=10，3.14×10=31.4 cm²）。提示：注意单位统一与取整方法。

分析题意，正确列式；在“去尾法”、环形面积、由正方形面积求圆面积等问题中突破难点，提升综合能力。

在综合问题中熟练方法，关注易错点（单位、取整、间接条件）。

四、拓展与小结

选做第6~8题：①压路机前轮直径1.7 m、每分钟6圈，10分钟前进多远？（3.14×1.7×6×10=320.28 m）②正方形+四个90°扇形的周长与面积；③气步枪靶十环面积是九环面积的几分之几。小结本单元知识、方法与易错点。

选做拓展题，综合运用周长面积知识；梳理本单元收获与仍需注意的问题。

在拓展中提升综合应用能力，完善认知结构。

课题名称

所属主题

第8课时　体育中的数学

第5单元 圆（综合与实践）

环节目标

学习材料

关键问题

时间

在体育话题中提出研究问题

课件

体育运动中有哪些有趣的数学问题？100 m和400 m跑的起跑线为什么不同？

6分钟

分析跑道结构，确定研究方案

跑道图、活动记录单

400 m跑道由哪几部分组成？内外跑道的差异是怎样形成的？要解决起跑线问题需要哪些数据？

8分钟

计算相邻跑道长度之差

计算器、跑道数据表

哪一圈跑道长度是400 m？相邻跑道的长度之差与直道有关吗？

12分钟

回顾过程，汇报交流

活动记录单

回顾解决问题的过程，你有什么发现？

7分钟

拓展迁移

课件

怎样用本课方法研究其他体育中的数学问题？

7分钟

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

一、确定主题

提问：“体育运动中有许多有趣的数学问题，课前同学们也做了了解，你发现了什么？”组织交流：400 m跑的起跑线是怎样设置的？足球比赛怎样分组？篮球得分怎样算？跳水得分怎样算？聚焦问题：“为什么100 m跑和400 m跑的起跑线不同？”

交流课前了解到的体育中的数学问题；讨论得出：100 m是直道竞赛起跑线相同，400 m是弯道竞赛、终点相同而外圈更长，所以起跑线不同。

从学生关注的话题中聚焦研究主题，感受数学与体育的联系。

二、分析解决

出示跑道图，提问：“每一条跑道具体由哪几个部分组成？内外跑道的差异是怎样形成的？”引导得出：跑道一圈长度=2条直道长度+一个圆的周长；内外跑道长度不同是因为圆的周长不同。追问：“要知道各跑道起跑线相差多少，需要哪些数据？”（直道长度、最内圈半圆直径、跑道宽度）

观察跑道图，说出跑道组成（两条直道+一个圆的周长）；理解内外圈差异源于圆周长不同；讨论确定需要测量的数据（直道长度、内圈直径、跑道宽度）或查阅设计标准。

在观察分析中抽象出几何模型，培养模型意识。

三、计算发现

组织用计算器计算：最内圈85.96×2+72.6×3.14≈400（m）；第2条85.96×2+(72.6+1.22×2)×3.14-400≈7.66（m）。引导发现：各跑道直道一样长，长度差与直道无关，只与圆的周长差有关。归纳：相邻两条跑道起跑线之间的距离=π×(跑道宽度×2)。

借助计算器逐条计算跑道全长（400、407.66、415.33、423……），发现相邻跑道差约7.66 m且都相等，归纳出“起跑线差距=π×道宽×2”。

在数据计算中发现规律，培养运算能力与推理意识。

四、回顾与汇报

提问：“回顾解决问题的过程，你有什么发现？”（跑道宽度固定时每条跑道总长度的差相同）组织小组完善活动记录单（研究问题、研究过程、研究结论），在班级内汇报交流。

总结发现：相邻跑道起跑线距离=π×(跑道宽度×2)；小组合作完成记录单并汇报，分享研究过程与结论。

在回顾与汇报中提炼结论，培养表达与合作能力。

五、课堂小结与拓展

小结本课：用圆的周长知识解决了起跑线问题，经历了“提出问题—收集数据—分析计算—发现规律—汇报”的过程。布置拓展：用类似方法研究足球分组、篮球得分统计等问题。

梳理研究过程与方法；提出想继续研究的体育中的数学问题。

提炼研究方法，引导迁移应用到其他问题。

课题名称

所属主题

第9课时　利用圆设计图案

第5单元 圆（综合与实践）

环节目标

学习材料

关键问题

时间

欣赏图案，明确任务

课件（美丽图案）

你见过这些美丽的图案吗？它们是画出来的？

4分钟

分析图案结构，学习作图步骤

课件（四瓣花作图演示）、圆规、直尺

四个花瓣实际上是由什么组成的？画图案先要确定什么？

12分钟

独立设计图案

圆规、直尺、彩笔

这个图案要画哪些圆和半圆？对称轴怎样画？

13分钟

展示交流，总结方法

学生作品

用圆规和直尺画图案的步骤和方法是什么？

6分钟

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

一、欣赏导入

出示用圆规和直尺画出的美丽图案。提问：“你见过这些美丽的图案吗？猜一猜它们是怎样画出来的？”揭示：这些图形就是用圆规和直尺一步一步画出来的。

欣赏图案，猜测作图方法，明确本课任务——用圆规和直尺设计图案。

在欣赏中激发创作欲望，引出学习任务。

二、分析画法

出示四瓣花图案，提问：“四个花瓣实际上是由什么组成的？”（四个半圆）“要画这个图案，先要确定什么？”（某个圆或半圆的圆心和半径）逐步演示：①画圆定圆心；②画两条互相垂直的对称轴交圆于A、B、C、D；③依次连接得正方形ABCD；④以AB为直径、AB中点为圆心在正方形内画半圆；⑤同样方法画另外三个半圆。

观察发现花瓣由半圆组成；理解“先定圆心和半径”的关键；跟随步骤画出四瓣花图案。

在分析中学会“分解图案—确定顺序—逐步作图”的方法。

三、动手设计

出示两个图案，组织分组作图：图案一：①画圆并画两条互相垂直的对称轴；②在两条对称轴上以大圆半径为直径画4个大半圆；③以大半圆半径为直径画8个小半圆；④涂色。图案二：①画圆并沿4个方向画4条对称轴；②在4条对称轴上以大圆半径为直径画8个小圆；③涂色。巡视指导，提醒先定圆心半径。

分组选择图案，按步骤用圆规和直尺作图并涂色，在实践中加深“圆心定位置、半径定大小”的感受。

在独立作图中应用方法，提高动手操作能力。

四、展示与小结

组织展示作品，互评欣赏。总结方法：①观察图案特点，分析图案的设计过程；②用圆规和直尺一步一步地画图；③擦掉多余的辅助线并涂上颜色。引导学生感受数学美与对称美。

展示作品，欣赏评价；总结作图三步骤；交流创作体会，感受数学之美。

在展示交流中提炼方法，培养审美情趣。